Розв'яжіть 2x^2-2x-12=28

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 12 = 28$$

Знайдіть x

$$x=-4$$

$$x=5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Відніміть 28 з обох сторін.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Відніміть 28 від -12, щоб отримати -40.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x^{2}-x-20=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді x^{2}+ax+bx-20. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-1 ab=1\left(-20\right)=-20$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -1.

$$a=-5 b=4$$

Перепишіть x^{2}-x-20 як \left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(4x-20\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 4 у другій групі.

$$x\left(x-5\right)+4\left(x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-5\right)\left(x+4\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть x-5=0 і x+4=0.

$$x=5 x=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Відніміть 28 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-2x-12-28=28-28$$

Якщо відняти 28 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-2x-12-28=0$$

Відніміть 28 від -12.

$$2x^{2}-2x-40=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -2 замість b і -40 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 2}$$

Додайте 4 до 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{2±18}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±18}{4} за додатного значення ±. Додайте 2 до 18.

$$x=\frac{20}{4}$$

Розділіть 20 на 4.

$$x=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±18}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 18 від 2.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Розділіть -16 на 4.

$$x=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=5 x=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-12=28$$

Додайте 12 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-2x-12-\left(-12\right)=28-\left(-12\right)$$

Якщо відняти -12 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-2x=28-\left(-12\right)$$

Відніміть -12 від 28.

$$2x^{2}-2x=40$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{40}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{40}{2}$$

Розділіть -2 на 2.

$$x^{2}-x=\frac{40}{2}$$

Розділіть 40 на 2.

$$x^{2}-x=20$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=20+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=20+\frac{1}{4}$$

Додайте 20 до \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{9}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=5 x=-4$$