Розв'яжіть 2x^2-2x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \approx 1,366025404$$

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\approx -0,366025404$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -2 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Додайте 4 до 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -2, дорівнює 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} за додатного значення ±. Додайте 2 до 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{4}$$

Розділіть 2+2\sqrt{3} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{3} від 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{4}$$

Розділіть 2-2\sqrt{3} на 4.

$$x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-2x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-2x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$2x^{2}-2x=1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-2x}{2}=\frac{1}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{2}\right)x=\frac{1}{2}$$

Розділіть -2 на 2.

$$x^{2}-x=\frac{1}{2}$$

Поділіть -1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{2}. Потім додайте -\frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Розкладіть x^{2}-x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Додайте \frac{1}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$