Розв'яжіть 2x^2-15x-1=0

$$2 x ^ { 2 } - 15 x - 1 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{233} + 15}{4} \approx 7,566084381$$

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}\approx -0,066084381$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -15 замість b і -1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -15 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+8}}{2\times 2}$$

Додайте 225 до 8.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -15, дорівнює 15.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{15±\sqrt{233}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} за додатного значення ±. Додайте 15 до \sqrt{233}.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{15±\sqrt{233}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{233} від 15.

$$x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-15x-1=0$$

Додайте 1 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-15x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Якщо відняти -1 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-15x=-\left(-1\right)$$

Відніміть -1 від 0.

$$2x^{2}-15x=1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-15x}{2}=\frac{1}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x=\frac{1}{2}$$

Поділіть -\frac{15}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{15}{4}. Потім додайте -\frac{15}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{15}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{15}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{1}{2}+\frac{225}{16}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до \frac{225}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16}=\frac{233}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{15}{2}x+\frac{225}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}=\frac{233}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{233}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{15}{4}=\frac{\sqrt{233}}{4} x-\frac{15}{4}=-\frac{\sqrt{233}}{4}$$

Додайте \frac{15}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{233}+15}{4} x=\frac{15-\sqrt{233}}{4}$$