Розв'яжіть 2x^2-13x+11leq0

$$2 x ^ { 2 } - 13 x + 11 \leq 0$$

Знайти x

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-13x+11=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -13 – на b, а 11 – на c.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 2\times 11}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{13±9}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{13±9}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{11}{2} x=1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{11}{2}\right)\left(x-1\right)\leq 0$$

Щоб добуток був ≤0, одне зі значень x-\frac{11}{2} і x-1 має бути ≥0, а інше – ≤0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{11}{2}\geq 0 і x-1\leq 0.

$$x-\frac{11}{2}\geq 0 x-1\leq 0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{11}{2}\leq 0 і x-1\geq 0.

$$x-1\geq 0 x-\frac{11}{2}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left[1,\frac{11}{2}\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \begin{bmatrix}1,\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$