Розв'яжіть 2x^2-11x-21

$$2 x ^ { 2 } - 11 x - 21$$

Розкласти на множники

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2x^{2}+ax+bx-21. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-11 ab=2\left(-21\right)=-42$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-14 b=3$$

Перепишіть 2x^{2}-11x-21 як \left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right).

$$\left(2x^{2}-14x\right)+\left(3x-21\right)$$

Винесіть за дужки 2x в першій і 3 у другій групі.

$$2x\left(x-7\right)+3\left(x-7\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-7, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-11x-21=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-21\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -21.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+168}}{2\times 2}$$

Додайте 121 до 168.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 289.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±17}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±17}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{11±17}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±17}{4} за додатного значення ±. Додайте 11 до 17.

$$x=\frac{28}{4}$$

Розділіть 28 на 4.

$$x=7$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±17}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 17 від 11.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 7 на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$2x^{2}-11x-21=2\left(x-7\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 2 й 2.

$$2x^{2}-11x-21=\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$

Обчислити

$$\left(x-7\right)\left(2x+3\right)$$