Розв'яжіть 2x^2+8x+9=0

$$2 x ^ { 2 } + 8 x + 9 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2+0,707106781i$$

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2\approx -2-0,707106781i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 8 замість b і 9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 2\times 9}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-8\times 9}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 9.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-72}}{2\times 2}$$

Додайте 64 до -72.

$$x=\frac{-8±\sqrt{-8}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -8.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -8 до 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-8+2\sqrt{2}i}{4}$$

Розділіть -8+2i\sqrt{2} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-8±2\sqrt{2}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{2} від -8.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-8}{4}$$

Розділіть -8-2i\sqrt{2} на 4.

$$x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+8x+9=0$$

Відніміть 9 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+8x+9-9=-9$$

Якщо відняти 9 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+8x=-9$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+8x}{2}=-\frac{9}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{8}{2}x=-\frac{9}{2}$$

Розділіть 8 на 2.

$$x^{2}+4x=-\frac{9}{2}$$

Поділіть 4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 2. Потім додайте 2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+4x+2^{2}=-\frac{9}{2}+2^{2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{9}{2}+4$$

Додайте -\frac{9}{2} до 4.

$$x^{2}+4x+4=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть x^{2}+4x+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+2\right)^{2}=-\frac{1}{2}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{2}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+2=\frac{\sqrt{2}i}{2} x+2=-\frac{\sqrt{2}i}{2}$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{2}i}{2}-2 x=-\frac{\sqrt{2}i}{2}-2$$