Розв'яжіть 2x^2+7x-4=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 4 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-4. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -8.

$$-1,8 -2,4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=-1 b=8$$

Перепишіть 2x^{2}+7x-4 як \left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right).

$$\left(2x^{2}-x\right)+\left(8x-4\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і 4 у другій групі.

$$x\left(2x-1\right)+4\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(x+4\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-1=0 і x+4=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 7 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-4\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+32}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до 32.

$$x=\frac{-7±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-7±9}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-7±9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±9}{4} за додатного значення ±. Додайте -7 до 9.

$$x=\frac{2}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±9}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від -7.

$$x=-\frac{16}{4}$$

Розділіть -16 на 4.

$$x=-4$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+7x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$2x^{2}+7x=4$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{4}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{4}{2}$$

Розділіть 4 на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=2$$

Поділіть \frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{4}. Потім додайте \frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Додайте 2 до \frac{49}{16}.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Відніміть \frac{7}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-4$$