Розв'яжіть 2x^2+6x-8<0

$$2 x ^ { 2 } + 6 x - 8 < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-4,1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+6x-8=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 6 – на b, а -8 – на c.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 2\left(-8\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-6±10}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-6±10}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=1 x=-4$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-1\right)\left(x+4\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-1 і x+4 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-1 має додатне значення, а x+4 – від’ємне.

$$x-1>0 x+4<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+4 має додатне значення, а x-1 – від’ємне.

$$x+4>0 x-1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-4,1\right).

$$x\in \left(-4,1\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-4,1\right)$$