Розв'яжіть 2x^2+5x-7=0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x - 7 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$x=1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-7. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=5 ab=2\left(-7\right)=-14$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -14.

$$-1,14 -2,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+14=13 -2+7=5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 5.

$$a=-2 b=7$$

Перепишіть 2x^{2}+5x-7 як \left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(7x-7\right)$$

2x на першій та 7 в друге групу.

$$2x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-1\right)\left(2x+7\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-1=0 та 2x+7=0.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 5 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+56}}{2\times 2}$$

Додайте 25 до 56.

$$x=\frac{-5±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-5±9}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-5±9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±9}{4} за додатного значення ±. Додайте -5 до 9.

$$x=\frac{4}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x=1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±9}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від -5.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+5x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+5x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+5x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$2x^{2}+5x=7$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+5x}{2}=\frac{7}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x=\frac{7}{2}$$

Поділіть \frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{4}. Потім додайте \frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{7}{2}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати \frac{7}{2} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{81}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{5}{4}=-\frac{9}{4}$$

Відніміть \frac{5}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=1 x=-\frac{7}{2}$$