Розв'яжіть 2x^2+4x+6=0

$$2 x ^ { 2 } + 4 x + 6 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+4x+6=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 4 замість b і 6 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-8\times 6}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 6.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-48}}{2\times 2}$$

Додайте 16 до -48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-32}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -32.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -4 до 4i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2^{\frac{5}{2}}i}{4}$$

Розділіть -4+i\times 2^{\frac{5}{2}} на 4.

$$x=-1+\sqrt{2}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±4\sqrt{2}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 4i\sqrt{2} від -4.

$$x=\frac{-2^{\frac{5}{2}}i-4}{4}$$

Розділіть -4-i\times 2^{\frac{5}{2}} на 4.

$$x=-\sqrt{2}i-1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+4x+6=0$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+4x+6-6=-6$$

Якщо відняти 6 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+4x=-6$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+4x}{2}=-\frac{6}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{4}{2}x=-\frac{6}{2}$$

Розділіть 4 на 2.

$$x^{2}+2x=-\frac{6}{2}$$

Розділіть -6 на 2.

$$x^{2}+2x=-3$$

Поділіть 2 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати 1. Потім додайте 1 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-3+1^{2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x^{2}+2x+1=-3+1$$

Додайте -3 до 1.

$$x^{2}+2x+1=-2$$

Розкладіть x^{2}+2x+1 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=-2$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Виконайте спрощення.

$$x+1=\sqrt{2}i x+1=-\sqrt{2}i$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$