Розв'яжіть 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

$$x=6$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-90. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=-12 b=15$$

Перепишіть 2x^{2}+3x-90 як \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

2x на першій та 15 в друге групу.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-6=0 та 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 3 замість b і -90 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±27}{4} за додатного значення ±. Додайте -3 до 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Розділіть 24 на 4.

$$x=6$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±27}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 27 від -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-30}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Додайте 90 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Якщо відняти -90 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Відніміть -90 від 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Розділіть 90 на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Поділіть \frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{4}. Потім додайте \frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Додайте 45 до \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Відніміть \frac{3}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$