Розв'яжіть 2x^2+2x+1=0

$$2 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i=-0,5+0,5i$$

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i=-0,5-0,5i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 2 замість b і 1 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

Піднесіть 2 до квадрата.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-8}}{2\times 2}$$

Додайте 4 до -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4.

$$x=\frac{-2±2i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-2±2i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2i}{4} за додатного значення ±. Додайте -2 до 2i.

$$x=\frac{-2+2i}{4}$$

Розділіть -2+2i на 4.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-2±2i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i від -2.

$$x=\frac{-2-2i}{4}$$

Розділіть -2-2i на 4.

$$x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+2x+1=0$$

Відніміть 1 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+2x+1-1=-1$$

Якщо відняти 1 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+2x=-1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+2x}{2}=-\frac{1}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{2}{2}x=-\frac{1}{2}$$

Розділіть 2 на 2.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{2}$$

Поділіть 1 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{2}. Потім додайте \frac{1}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Щоб додати -\frac{1}{2} до \frac{1}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Розкладіть x^{2}+x+\frac{1}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}i x+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i x=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$$