Розв'яжіть 2x+y=1text{and}x-y=-4

$$2 x + y = 1 \text { and } x - y = - 4$$

Знайдіть x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$2x+y=1$$

Відніміть y від обох сторін цього рівняння.

$$2x=-y+1$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+1\right)$$

Помножте \frac{1}{2} на -y+1.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}$$

Підставте \frac{-y+1}{2} замість x в іншому рівнянні: x-y=-4.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}-y=-4$$

Додайте -\frac{y}{2} до -y.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=-4$$

Відніміть \frac{1}{2} від обох сторін цього рівняння.

$$-\frac{3}{2}y=-\frac{9}{2}$$

Розділіть обидві сторони рівняння на -\frac{3}{2}. Це те саме, що й помножити обидві сторони на обернений дріб.

$$y=3$$

Підставте 3 замість y у рівняння x=-\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{1}{2}\times 3+\frac{1}{2}$$

Помножте -\frac{1}{2} на 3.

$$x=\frac{-3+1}{2}$$

Щоб додати \frac{1}{2} до -\frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=3$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-1}&\frac{2}{2\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\left(-4\right)\\\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=-1,y=3$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$2x+y=1,x-y=-4$$

Щоб отримати рівність між 2x і x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 1, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 2.

$$2x+y=1,2x+2\left(-1\right)y=2\left(-4\right)$$

Виконайте спрощення.

$$2x+y=1,2x-2y=-8$$

Знайдіть різницю 2x-2y=-8 і 2x+y=1. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$2x-2x+y+2y=1+8$$

Додайте 2x до -2x. Члени 2x та -2x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$y+2y=1+8$$

Додайте y до 2y.

$$3y=1+8$$

Додайте 1 до 8.

$$3y=9$$

Розділіть обидві сторони на 3.

$$y=3$$

Підставте 3 замість y у рівняння x-y=-4. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x-3=-4$$

Додайте 3 до обох сторін цього рівняння.

$$x=-1$$

Систему розв’язано.

$$x=-1,y=3$$