Розв'яжіть 2x+3y=6quadtext{and}quad6x-5y=4

$$2 x + 3 y = 6 \quad \text { and } \quad 6 x - 5 y = 4$$

Знайдіть x, y

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$y=1$$

Покрокові інструкції з використання підстановок

Щоб розв’язати систему з двох рівнянь за допомогою підстановки, спочатку розв’яжіть одне з рівнянь відносно однієї зі змінних, а потім підставте результат замість цієї змінної в інше рівняння.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Виберіть одне з рівнянь і розв’яжіть його відносно змінної x. Для цього перенесіть x до лівої стороні рівняння.

$$2x+3y=6$$

Відніміть 3y від обох сторін цього рівняння.

$$2x=-3y+6$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+6\right)$$

Помножте \frac{1}{2} на -3y+6.

$$x=-\frac{3}{2}y+3$$

Підставте -\frac{3y}{2}+3 замість x в іншому рівнянні: 6x-5y=4.

$$6\left(-\frac{3}{2}y+3\right)-5y=4$$

Помножте 6 на -\frac{3y}{2}+3.

$$-9y+18-5y=4$$

Додайте -9y до -5y.

$$-14y+18=4$$

Відніміть 18 від обох сторін цього рівняння.

$$-14y=-14$$

Розділіть обидві сторони на -14.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння x=-\frac{3}{2}y+3. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$x=-\frac{3}{2}+3$$

Додайте 3 до -\frac{3}{2}.

$$x=\frac{3}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Покрокові інструкції з використання матриць

Зведіть рівняння до стандартного вигляду та розв’яжіть систему за допомогою матриць.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Запишіть рівняння в матричному вигляді.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Помножте обидві сторони рівняння зліва на матрицю, обернену до \left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Добуток матриці та оберненої до неї дорівнює одиничній матриці.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці з лівої сторони від знаку рівності.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\6&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Для матриці 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)обернена матриця – \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), так матричне рівняння можна звести до задачі матричного добутку.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2\left(-5\right)-3\times 6}&-\frac{3}{2\left(-5\right)-3\times 6}\\-\frac{6}{2\left(-5\right)-3\times 6}&\frac{2}{2\left(-5\right)-3\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}&\frac{3}{28}\\\frac{3}{14}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\4\end{matrix}\right)$$

Перемножте матриці.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{28}\times 6+\frac{3}{28}\times 4\\\frac{3}{14}\times 6-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

Виконайте арифметичні операції.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\1\end{matrix}\right)$$

Видобудьте елементи матриці x і y.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$

Покрокові інструкції з використання виключення

Щоб знайти розв’язок методом виключення, коефіцієнти однієї зі змінних мають збігатися в обох рівняннях. Тоді цю змінну можна відкинути, віднявши одне рівняння від іншого.

$$2x+3y=6,6x-5y=4$$

Щоб отримати рівність між 2x і 6x, помножте всі члени з обох сторін першого рівняння на 6, а всі члени з обох сторін другого рівняння – на 2.

$$6\times 2x+6\times 3y=6\times 6,2\times 6x+2\left(-5\right)y=2\times 4$$

Виконайте спрощення.

$$12x+18y=36,12x-10y=8$$

Знайдіть різницю 12x-10y=8 і 12x+18y=36. Для цього відніміть подібні члени від кожної сторони рівняння.

$$12x-12x+18y+10y=36-8$$

Додайте 12x до -12x. Члени 12x та -12x відкидаються. Залишається рівняння лише з однією змінною, яке можна розв’язати.

$$18y+10y=36-8$$

Додайте 18y до 10y.

$$28y=36-8$$

Додайте 36 до -8.

$$28y=28$$

Розділіть обидві сторони на 28.

$$y=1$$

Підставте 1 замість y у рівняння 6x-5y=4. Оскільки тепер рівняння містить лише одну змінну, можна розв’язати його відносно x.

$$6x-5=4$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$6x=9$$

Розділіть обидві сторони на 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Систему розв’язано.

$$x=\frac{3}{2},y=1$$