Розв'яжіть 2t^2-7t-7=0

$$2 t ^ { 2 } - 7 t - 7 = 0$$

Знайдіть t

$$t = \frac{\sqrt{105} + 7}{4} \approx 4,311737691$$

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}\approx -0,811737691$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -7 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -7.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+56}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до 56.

$$t=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$t=\frac{7±\sqrt{105}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} за додатного значення ±. Додайте 7 до \sqrt{105}.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{7±\sqrt{105}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{105} від 7.

$$t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-7t-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$2t^{2}-7t-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$2t^{2}-7t=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$2t^{2}-7t=7$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2t^{2}-7t}{2}=\frac{7}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t=\frac{7}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{7}{2}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати \frac{7}{2} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16}=\frac{105}{16}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{7}{2}t+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} t-\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$t=\frac{\sqrt{105}+7}{4} t=\frac{7-\sqrt{105}}{4}$$