Розв'яжіть 2t^2-3t-9=0

$$2 t ^ { 2 } - 3 t - 9 = 0$$

Знайдіть t

$$t = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$t=3$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2t^{2}+at+bt-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-3 ab=2\left(-9\right)=-18$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -18.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -3.

$$a=-6 b=3$$

Перепишіть 2t^{2}-3t-9 як \left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right).

$$\left(2t^{2}-6t\right)+\left(3t-9\right)$$

2t на першій та 3 в друге групу.

$$2t\left(t-3\right)+3\left(t-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член t-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(t-3\right)\left(2t+3\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть t-3=0 та 2t+3=0.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -3 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -3 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-9\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -9.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+72}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до 72.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{81}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±9}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -3, дорівнює 3.

$$t=\frac{3±9}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$t=\frac{3±9}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{3±9}{4} за додатного значення ±. Додайте 3 до 9.

$$t=\frac{12}{4}$$

Розділіть 12 на 4.

$$t=3$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{3±9}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від 3.

$$t=-\frac{6}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{4} до нескоротного вигляду.

$$t=-\frac{3}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2t^{2}-3t-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$2t^{2}-3t-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$2t^{2}-3t=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$2t^{2}-3t=9$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2t^{2}-3t}{2}=\frac{9}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t=\frac{9}{2}$$

Поділіть -\frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{3}{4}. Потім додайте -\frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{9}{2}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати \frac{9}{2} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16}=\frac{81}{16}$$

Розкладіть t^{2}-\frac{3}{2}t+\frac{9}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$t-\frac{3}{4}=\frac{9}{4} t-\frac{3}{4}=-\frac{9}{4}$$

Додайте \frac{3}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$t=3 t=-\frac{3}{2}$$