Розв'яжіть 2r^2+5r+2=0

$$2 r ^ { 2 } + 5 r + 2 = 0$$

Знайдіть r

$$r=-2$$

$$r=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2r^{2}+ar+br+2. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=5 ab=2\times 2=4$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 4.

$$1,4 2,2$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+4=5 2+2=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 5.

$$a=1 b=4$$

Перепишіть 2r^{2}+5r+2 як \left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right).

$$\left(2r^{2}+r\right)+\left(4r+2\right)$$

r на першій та 2 в друге групу.

$$r\left(2r+1\right)+2\left(2r+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2r+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2r+1\right)\left(r+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2r+1=0 та r+2=0.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 5 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Піднесіть 5 до квадрата.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2\times 2}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-8\times 2}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 2.

$$r=\frac{-5±\sqrt{25-16}}{2\times 2}$$

Додайте 25 до -16.

$$r=\frac{-5±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$r=\frac{-5±3}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$r=\frac{-5±3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-5±3}{4} за додатного значення ±. Додайте -5 до 3.

$$r=-\frac{2}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-2}{4} до нескоротного вигляду.

$$r=-\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння r=\frac{-5±3}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від -5.

$$r=-\frac{8}{4}$$

Розділіть -8 на 4.

$$r=-2$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2r^{2}+5r+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$2r^{2}+5r+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$2r^{2}+5r=-2$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2r^{2}+5r}{2}=-\frac{2}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-\frac{2}{2}$$

Розділіть -2 на 2.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r=-1$$

Поділіть \frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{4}. Потім додайте \frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}=-1+\left(\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=-1+\frac{25}{16}$$

Додайте -1 до \frac{25}{16}.

$$r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16}=\frac{9}{16}$$

Розкладіть r^{2}+\frac{5}{2}r+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(r+\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$r+\frac{5}{4}=\frac{3}{4} r+\frac{5}{4}=-\frac{3}{4}$$

Відніміть \frac{5}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$r=-\frac{1}{2} r=-2$$