Розв'яжіть 2n^2-7n-345=0

$$2 n ^ { 2 } - 7 n - 345 = 0$$

Знайдіть n

$$n = -\frac{23}{2} = -11\frac{1}{2} = -11,5$$

$$n=15$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2n^{2}+an+bn-345. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-7 ab=2\left(-345\right)=-690$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -690.

$$1,-690 2,-345 3,-230 5,-138 6,-115 10,-69 15,-46 23,-30$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-690=-689 2-345=-343 3-230=-227 5-138=-133 6-115=-109 10-69=-59 15-46=-31 23-30=-7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-30 b=23$$

Перепишіть 2n^{2}-7n-345 як \left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right).

$$\left(2n^{2}-30n\right)+\left(23n-345\right)$$

2n на першій та 23 в друге групу.

$$2n\left(n-15\right)+23\left(n-15\right)$$

Винесіть за дужки спільний член n-15, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(n-15\right)\left(2n+23\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть n-15=0 та 2n+23=0.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -7 замість b і -345 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-345\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -345.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+2760}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до 2760.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{2809}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 2809.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±53}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$n=\frac{7±53}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$n=\frac{7±53}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{7±53}{4} за додатного значення ±. Додайте 7 до 53.

$$n=\frac{60}{4}$$

Розділіть 60 на 4.

$$n=15$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{7±53}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 53 від 7.

$$n=-\frac{46}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-46}{4} до нескоротного вигляду.

$$n=-\frac{23}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-7n-345=0$$

Додайте 345 до обох сторін цього рівняння.

$$2n^{2}-7n-345-\left(-345\right)=-\left(-345\right)$$

Якщо відняти -345 від самого себе, залишиться 0.

$$2n^{2}-7n=-\left(-345\right)$$

Відніміть -345 від 0.

$$2n^{2}-7n=345$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2n^{2}-7n}{2}=\frac{345}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n=\frac{345}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{345}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{345}{2}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати \frac{345}{2} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16}=\frac{2809}{16}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{7}{2}n+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{2809}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2809}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{7}{4}=\frac{53}{4} n-\frac{7}{4}=-\frac{53}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$n=15 n=-\frac{23}{2}$$