Розв'яжіть 2n^2-5n-4=6

$$2 n ^ { 2 } - 5 n - 4 = 6$$

Знайдіть n

$$n = \frac{\sqrt{105} + 5}{4} \approx 3,811737691$$

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}\approx -1,311737691$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

Відніміть 6 від обох сторін цього рівняння.

$$2n^{2}-5n-4-6=6-6$$

Якщо відняти 6 від самого себе, залишиться 0.

$$2n^{2}-5n-4-6=0$$

Відніміть 6 від -4.

$$2n^{2}-5n-10=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -5 замість b і -10 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -10.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+80}}{2\times 2}$$

Додайте 25 до 80.

$$n=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$n=\frac{5±\sqrt{105}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{5±\sqrt{105}}{4} за додатного значення ±. Додайте 5 до \sqrt{105}.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{5±\sqrt{105}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{105} від 5.

$$n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-5n-4=6$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$2n^{2}-5n-4-\left(-4\right)=6-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$2n^{2}-5n=6-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 6.

$$2n^{2}-5n=10$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2n^{2}-5n}{2}=\frac{10}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=\frac{10}{2}$$

Розділіть 10 на 2.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n=5$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=5+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=5+\frac{25}{16}$$

Додайте 5 до \frac{25}{16}.

$$n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16}=\frac{105}{16}$$

Розкладіть n^{2}-\frac{5}{2}n+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} n-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{\sqrt{105}+5}{4} n=\frac{5-\sqrt{105}}{4}$$