Розв'яжіть 2k^2+9k=-7

$$2 k ^ { 2 } + 9 k = - 7$$

Знайдіть k

$$k = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3,5$$

$$k=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Додайте 7 до обох сторін.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2k^{2}+ak+bk+7. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=9 ab=2\times 7=14$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 14.

$$1,14 2,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+14=15 2+7=9$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 9.

$$a=2 b=7$$

Перепишіть 2k^{2}+9k+7 як \left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right).

$$\left(2k^{2}+2k\right)+\left(7k+7\right)$$

Винесіть за дужки 2k в першій і 7 у другій групі.

$$2k\left(k+1\right)+7\left(k+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член k+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(k+1\right)\left(2k+7\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть k+1=0 і 2k+7=0.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=-7-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$2k^{2}+9k-\left(-7\right)=0$$

Відніміть -7 від 0.

$$2k^{2}+9k+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 9 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Піднесіть 9 до квадрата.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-8\times 7}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 7.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-56}}{2\times 2}$$

Додайте 81 до -56.

$$k=\frac{-9±\sqrt{25}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 25.

$$k=\frac{-9±5}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$k=\frac{-9±5}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±5}{4} за додатного значення ±. Додайте -9 до 5.

$$k=-\frac{4}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$k=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння k=\frac{-9±5}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 5 від -9.

$$k=-\frac{14}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-14}{4} до нескоротного вигляду.

$$k=-\frac{7}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2k^{2}+9k=-7$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2k^{2}+9k}{2}=-\frac{7}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k=-\frac{7}{2}$$

Поділіть \frac{9}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{9}{4}. Потім додайте \frac{9}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{9}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{81}{16}$$

Щоб додати -\frac{7}{2} до \frac{81}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16}=\frac{25}{16}$$

Розкладіть k^{2}+\frac{9}{2}k+\frac{81}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$k+\frac{9}{4}=\frac{5}{4} k+\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}$$

Відніміть \frac{9}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$k=-1 k=-\frac{7}{2}$$