Розв'яжіть 2b^2-4b+1>0

$$2 b ^ { 2 } - 4 b + 1 > 0$$

Знайти b

$$b\in \left(-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\cup \left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2b^{2}-4b+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -4 – на b, а 1 – на c.

$$b=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4}$$

Розв’яжіть рівняння b=\frac{4±2\sqrt{2}}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$b=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 b=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) від’ємні.

$$b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0 b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Розглянемо випадок, коли b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) і b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) додатні.

$$b-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0 b-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$b<-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }b>\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$