Розв'яжіть 2(x+1)(x-7)<0

$$2 ( x + 1 ) ( x - 7 ) < 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-1,7\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2 на x+1.

$$\left(2x+2\right)\left(x-7\right)<0$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 2x+2 на x-7 і звести подібні члени.

$$2x^{2}-12x-14<0$$

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-12x-14=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, -12 – на b, а -14 – на c.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\left(-14\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{12±16}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{12±16}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=7 x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-7\right)\left(x+1\right)<0$$

Щоб добуток був від’ємний, x-7 і x+1 мають бути протилежних знаків. Розглянемо випадок, коли x-7 має додатне значення, а x+1 – від’ємне.

$$x-7>0 x+1<0$$

Це не виконується для жодного значення x.

$$x\in \emptyset$$

Розглянемо випадок, коли x+1 має додатне значення, а x-7 – від’ємне.

$$x+1>0 x-7<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\in \left(-1,7\right).

$$x\in \left(-1,7\right)$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\in \left(-1,7\right)$$