Розв'яжіть 2x^2-7x-15

$$2 { x }^{ 2 } -7x-15$$

Розкласти на множники

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 2x^{2}+ax+bx-15. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-10 b=3$$

Перепишіть 2x^{2}-7x-15 як \left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(3x-15\right)$$

2x на першій та 3 в друге групу.

$$2x\left(x-5\right)+3\left(x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-7x-15=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -15.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{7±13}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±13}{4} за додатного значення ±. Додайте 7 до 13.

$$x=\frac{20}{4}$$

Розділіть 20 на 4.

$$x=5$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±13}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 13 від 7.

$$x=-\frac{6}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-6}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть 5 на x_{1} та -\frac{3}{2} на x_{2}.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{3}{2} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$2x^{2}-7x-15=2\left(x-5\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Відкиньте 2, тобто найбільший спільний дільник для 2 й 2.

$$2x^{2}-7x-15=\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Обчислити

$$\left(x-5\right)\left(2x+3\right)$$