Розв'яжіть 2x^2-7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } -7x+5=0$$

Знайдіть x

$$x=1$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx+5. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-7 ab=2\times 5=10$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b є негативними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 10.

$$-1,-10 -2,-5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-10=-11 -2-5=-7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -7.

$$a=-5 b=-2$$

Перепишіть 2x^{2}-7x+5 як \left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(-2x+5\right)$$

Винесіть за дужки x в першій і -1 у другій групі.

$$x\left(2x-5\right)-\left(2x-5\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-5\right)\left(x-1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 2x-5=0 і x-1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -7 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Піднесіть -7 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до -40.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -7, дорівнює 7.

$$x=\frac{7±3}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{7±3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±3}{4} за додатного значення ±. Додайте 7 до 3.

$$x=\frac{10}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{7±3}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від 7.

$$x=\frac{4}{4}$$

Розділіть 4 на 4.

$$x=1$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-7x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-7x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-7x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Поділіть -\frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{4}. Потім додайте -\frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати -\frac{5}{2} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Додайте \frac{7}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{2} x=1$$