Розв'яжіть 2x^2-5x+17=0

$$2 { x }^{ 2 } -5x+17=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}\approx 1,25+2,633913438i$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}\approx 1,25-2,633913438i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -5 замість b і 17 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\times 17}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\times 17}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 17.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-136}}{2\times 2}$$

Додайте 25 до -136.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-111}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -111.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 5 до i\sqrt{111}.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{5±\sqrt{111}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{111} від 5.

$$x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-5x+17=0$$

Відніміть 17 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-5x+17-17=-17$$

Якщо відняти 17 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-5x=-17$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-5x}{2}=-\frac{17}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{17}{2}$$

Поділіть -\frac{5}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{4}. Потім додайте -\frac{5}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{17}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{17}{2}+\frac{25}{16}$$

Щоб додати -\frac{17}{2} до \frac{25}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=-\frac{111}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=-\frac{111}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{111}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{111}i}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{111}i}{4}$$

Додайте \frac{5}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5+\sqrt{111}i}{4} x=\frac{-\sqrt{111}i+5}{4}$$