Розв'яжіть 2x^2-14x-54=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x-54=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{157} + 7}{2} \approx 9,764982043$$

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}\approx -2,764982043$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -14 замість b і -54 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\left(-54\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -54.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+432}}{2\times 2}$$

Додайте 196 до 432.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{628}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 628.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} за додатного значення ±. Додайте 14 до 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}+14}{4}$$

Розділіть 14+2\sqrt{157} на 4.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2\sqrt{157}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{157} від 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{157}}{4}$$

Розділіть 14-2\sqrt{157} на 4.

$$x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x-54=0$$

Додайте 54 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-14x-54-\left(-54\right)=-\left(-54\right)$$

Якщо відняти -54 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-14x=-\left(-54\right)$$

Відніміть -54 від 0.

$$2x^{2}-14x=54$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=\frac{54}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=\frac{54}{2}$$

Розділіть -14 на 2.

$$x^{2}-7x=\frac{54}{2}$$

Розділіть 54 на 2.

$$x^{2}-7x=27$$

Поділіть -7 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{2}. Потім додайте -\frac{7}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=27+\frac{49}{4}$$

Додайте 27 до \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{157}{4}$$

Розкладіть x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

Додайте \frac{7}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{157}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{157}}{2}$$