Розв'яжіть 2x^2-14x+25=0

$$2 { x }^{ 2 } -14x+25=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i=3,5+0,5i$$

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i=3,5-0,5i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -14 замість b і 25 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Піднесіть -14 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 2\times 25}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-8\times 25}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 25.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-200}}{2\times 2}$$

Додайте 196 до -200.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{-4}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -14, дорівнює 14.

$$x=\frac{14±2i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{14±2i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2i}{4} за додатного значення ±. Додайте 14 до 2i.

$$x=\frac{14+2i}{4}$$

Розділіть 14+2i на 4.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{14±2i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i від 14.

$$x=\frac{14-2i}{4}$$

Розділіть 14-2i на 4.

$$x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-14x+25=0$$

Відніміть 25 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-14x+25-25=-25$$

Якщо відняти 25 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-14x=-25$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-14x}{2}=-\frac{25}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{2}\right)x=-\frac{25}{2}$$

Розділіть -14 на 2.

$$x^{2}-7x=-\frac{25}{2}$$

Поділіть -7 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{7}{2}. Потім додайте -\frac{7}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{25}{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{7}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{25}{2}+\frac{49}{4}$$

Щоб додати -\frac{25}{2} до \frac{49}{4}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-\frac{1}{4}$$

Розкладіть x^{2}-7x+\frac{49}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{1}{2}i x-\frac{7}{2}=-\frac{1}{2}i$$

Додайте \frac{7}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{7}{2}+\frac{1}{2}i x=\frac{7}{2}-\frac{1}{2}i$$