Розв'яжіть 2x^2-11x-40=0

$$2 { x }^{ 2 } -11x-40=0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=8$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx-40. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-11 ab=2\left(-40\right)=-80$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -11.

$$a=-16 b=5$$

Перепишіть 2x^{2}-11x-40 як \left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right).

$$\left(2x^{2}-16x\right)+\left(5x-40\right)$$

2x на першій та 5 в друге групу.

$$2x\left(x-8\right)+5\left(x-8\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x-8, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x-8=0 та 2x+5=0.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -11 замість b і -40 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть -11 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 2\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-8\left(-40\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -40.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+320}}{2\times 2}$$

Додайте 121 до 320.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 441.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±21}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -11, дорівнює 11.

$$x=\frac{11±21}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{11±21}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±21}{4} за додатного значення ±. Додайте 11 до 21.

$$x=\frac{32}{4}$$

Розділіть 32 на 4.

$$x=8$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{11±21}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 21 від 11.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-11x-40=0$$

Додайте 40 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}-11x-40-\left(-40\right)=-\left(-40\right)$$

Якщо відняти -40 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}-11x=-\left(-40\right)$$

Відніміть -40 від 0.

$$2x^{2}-11x=40$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}-11x}{2}=\frac{40}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{40}{2}$$

Розділіть 40 на 2.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=20$$

Поділіть -\frac{11}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{11}{4}. Потім додайте -\frac{11}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=20+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{11}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=20+\frac{121}{16}$$

Додайте 20 до \frac{121}{16}.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{441}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{21}{4}$$

Додайте \frac{11}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=8 x=-\frac{5}{2}$$