Розв'яжіть 2x^2+x-7=0

$$2 { x }^{ 2 } +x-7=0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{57} - 1}{4} \approx 1,637458609$$

$$x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}\approx -2,137458609$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+x-7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 1 замість b і -7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Піднесіть 1 до квадрата.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-7\right)}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на -7.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+56}}{2\times 2}$$

Додайте 1 до 56.

$$x=\frac{-1±\sqrt{57}}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4} за додатного значення ±. Додайте -1 до \sqrt{57}.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-1±\sqrt{57}}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть \sqrt{57} від -1.

$$x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+x-7=0$$

Додайте 7 до обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Якщо відняти -7 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+x=-\left(-7\right)$$

Відніміть -7 від 0.

$$2x^{2}+x=7$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+x}{2}=\frac{7}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{7}{2}$$

Поділіть \frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{1}{4}. Потім додайте \frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{7}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{7}{2}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати \frac{7}{2} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{57}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{57}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{57}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{57}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{57}}{4}$$

Відніміть \frac{1}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{57}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{57}-1}{4}$$