Розв'яжіть 2x^2+7x+5=0

$$2 { x }^{ 2 } +7x+5 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-1$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 2x^{2}+ax+bx+5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 10.

$$1,10 2,5$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+10=11 2+5=7$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 7.

$$a=2 b=5$$

Перепишіть 2x^{2}+7x+5 як \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

2x на першій та 5 в друге групу.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть x+1=0 та 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 7 замість b і 5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Піднесіть 7 до квадрата.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Додайте 49 до -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±3}{4} за додатного значення ±. Додайте -7 до 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Розділіть -4 на 4.

$$x=-1$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-7±3}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 3 від -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-10}{4} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Відніміть 5 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Якщо відняти 5 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Поділіть \frac{7}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{4}. Потім додайте \frac{7}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Щоб додати -\frac{5}{2} до \frac{49}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Відніміть \frac{7}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$