Розв'яжіть 2x^2+5x-3geq0

$$2 { x }^{ 2 } +5x-3 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-3]\cup [\frac{1}{2},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x-3=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 5 – на b, а -3 – на c.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-5±7}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-5±7}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{1}{2} x=-3$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+3\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{1}{2} і x+3 мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{2} і x+3 ≤0.

$$x-\frac{1}{2}\leq 0 x+3\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -3.

$$x\leq -3$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{1}{2} і x+3 ≥0.

$$x+3\geq 0 x-\frac{1}{2}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{1}{2}.

$$x\geq \frac{1}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -3\text{; }x\geq \frac{1}{2}$$