Розв'яжіть 2x^2+3x+7=0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+7=0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}\approx -0,75+1,71391365i$$

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}\approx -0,75-1,71391365i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, 3 замість b і 7 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\times 7}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\times 7}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 7.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56}}{2\times 2}$$

Додайте 9 до -56.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-47}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -47.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} за додатного значення ±. Додайте -3 до i\sqrt{47}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±\sqrt{47}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть i\sqrt{47} від -3.

$$x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x+7=0$$

Відніміть 7 від обох сторін цього рівняння.

$$2x^{2}+3x+7-7=-7$$

Якщо відняти 7 від самого себе, залишиться 0.

$$2x^{2}+3x=-7$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=-\frac{7}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{7}{2}$$

Поділіть \frac{3}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{4}. Потім додайте \frac{3}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{7}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{7}{2}+\frac{9}{16}$$

Щоб додати -\frac{7}{2} до \frac{9}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{47}{16}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{47}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{47}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{47}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{47}i}{4}$$

Відніміть \frac{3}{4} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{-3+\sqrt{47}i}{4} x=\frac{-\sqrt{47}i-3}{4}$$