Розв'яжіть 2x^2+3x+1>0

$$2 { x }^{ 2 } +3x+1 > 0$$

Знайти x

$$x\in \left(-\infty,-1\right)\cup \left(-\frac{1}{2},\infty\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+3x+1=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 2 на a, 3 – на b, а 1 – на c.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{-3±1}{4}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±1}{4} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=-\frac{1}{2} x=-1$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$2\left(x+\frac{1}{2}\right)\left(x+1\right)>0$$

Щоб добуток був додатний, x+\frac{1}{2} і x+1 мають одночасно бути або додатними, або від’ємними. Розглянемо випадок, коли x+\frac{1}{2} і x+1 від’ємні.

$$x+\frac{1}{2}<0 x+1<0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x<-1.

$$x<-1$$

Розглянемо випадок, коли x+\frac{1}{2} і x+1 додатні.

$$x+1>0 x+\frac{1}{2}>0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x>-\frac{1}{2}.

$$x>-\frac{1}{2}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x<-1\text{; }x>-\frac{1}{2}$$