Розв'яжіть 2n^2-10n+20=0

$$2 { n }^{ 2 } -10n+20=0$$

Знайдіть n

$$n=\frac{5+\sqrt{15}i}{2}\approx 2,5+1,936491673i$$

$$n=\frac{-\sqrt{15}i+5}{2}\approx 2,5-1,936491673i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$2n^{2}-10n+20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 2 замість a, -10 замість b і 20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Піднесіть -10 до квадрата.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 2\times 20}}{2\times 2}$$

Помножте -4 на 2.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-8\times 20}}{2\times 2}$$

Помножте -8 на 20.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-160}}{2\times 2}$$

Додайте 100 до -160.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-60}}{2\times 2}$$

Видобудьте квадратний корінь із -60.

$$n=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Число, протилежне до -10, дорівнює 10.

$$n=\frac{10±2\sqrt{15}i}{2\times 2}$$

Помножте 2 на 2.

$$n=\frac{10±2\sqrt{15}i}{4}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{10±2\sqrt{15}i}{4} за додатного значення ±. Додайте 10 до 2i\sqrt{15}.

$$n=\frac{10+2\sqrt{15}i}{4}$$

Розділіть 10+2i\sqrt{15} на 4.

$$n=\frac{5+\sqrt{15}i}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння n=\frac{10±2\sqrt{15}i}{4} за від’ємного значення ±. Відніміть 2i\sqrt{15} від 10.

$$n=\frac{-2\sqrt{15}i+10}{4}$$

Розділіть 10-2i\sqrt{15} на 4.

$$n=\frac{-\sqrt{15}i+5}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$n=\frac{5+\sqrt{15}i}{2} n=\frac{-\sqrt{15}i+5}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$2n^{2}-10n+20=0$$

Відніміть 20 від обох сторін цього рівняння.

$$2n^{2}-10n+20-20=-20$$

Якщо відняти 20 від самого себе, залишиться 0.

$$2n^{2}-10n=-20$$

Розділіть обидві сторони на 2.

$$\frac{2n^{2}-10n}{2}=-\frac{20}{2}$$

Ділення на 2 скасовує множення на 2.

$$n^{2}+\left(-\frac{10}{2}\right)n=-\frac{20}{2}$$

Розділіть -10 на 2.

$$n^{2}-5n=-\frac{20}{2}$$

Розділіть -20 на 2.

$$n^{2}-5n=-10$$

Поділіть -5 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{2}. Потім додайте -\frac{5}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$n^{2}-5n+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$n^{2}-5n+\frac{25}{4}=-10+\frac{25}{4}$$

Додайте -10 до \frac{25}{4}.

$$n^{2}-5n+\frac{25}{4}=-\frac{15}{4}$$

Розкладіть n^{2}-5n+\frac{25}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{15}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(n-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$n-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{15}i}{2} n-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{15}i}{2}$$

Додайте \frac{5}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$n=\frac{5+\sqrt{15}i}{2} n=\frac{-\sqrt{15}i+5}{2}$$