Розв'яжіть 2*sqrt{x+1}+sqrt{x+2}=3

$$2 \cdot \sqrt { x + 1 } + \sqrt { x + 2 } = 3$$

Знайдіть x

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}\approx -0,28546882$$

Покрокове розв’язання

Відніміть \sqrt{x+2} від обох сторін цього рівняння.

$$2\sqrt{x+1}=3-\sqrt{x+2}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(2\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(2\sqrt{x+1}\right)^{2}

$$2^{2}\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Обчисліть 2 у степені 2 і отримайте 4.

$$4\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+1} у степені 2 і отримайте x+1.

$$4\left(x+1\right)=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 4 на x+1.

$$4x+4=\left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3-\sqrt{x+2}\right)^{2}.

$$4x+4=9-6\sqrt{x+2}+\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+2} у степені 2 і отримайте x+2.

$$4x+4=9-6\sqrt{x+2}+x+2$$

Додайте 9 до 2, щоб обчислити 11.

$$4x+4=11-6\sqrt{x+2}+x$$

Відніміть 11+x від обох сторін цього рівняння.

$$4x+4-\left(11+x\right)=-6\sqrt{x+2}$$

Щоб знайти протилежне виразу 11+x, знайдіть протилежне значення для кожного члена.

$$4x+4-11-x=-6\sqrt{x+2}$$

Відніміть 11 від 4, щоб отримати -7.

$$4x-7-x=-6\sqrt{x+2}$$

Додайте 4x до -x, щоб отримати 3x.

$$3x-7=-6\sqrt{x+2}$$

Піднесіть до квадрата обидві сторони рівняння.

$$\left(3x-7\right)^{2}=\left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Скористайтеся біномом Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, щоб розкрити дужки в \left(3x-7\right)^{2}.

$$9x^{2}-42x+49=\left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Розкладіть \left(-6\sqrt{x+2}\right)^{2}

$$9x^{2}-42x+49=\left(-6\right)^{2}\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Обчисліть -6 у степені 2 і отримайте 36.

$$9x^{2}-42x+49=36\left(\sqrt{x+2}\right)^{2}$$

Обчисліть \sqrt{x+2} у степені 2 і отримайте x+2.

$$9x^{2}-42x+49=36\left(x+2\right)$$

Скористайтеся властивістю дистрибутивності, щоб помножити 36 на x+2.

$$9x^{2}-42x+49=36x+72$$

Відніміть 36x з обох сторін.

$$9x^{2}-42x+49-36x=72$$

Додайте -42x до -36x, щоб отримати -78x.

$$9x^{2}-78x+49=72$$

Відніміть 72 з обох сторін.

$$9x^{2}-78x+49-72=0$$

Відніміть 72 від 49, щоб отримати -23.

$$9x^{2}-78x-23=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 9 замість a, -78 замість b і -23 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{\left(-78\right)^{2}-4\times 9\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Піднесіть -78 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-4\times 9\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-36\left(-23\right)}}{2\times 9}$$

Помножте -36 на -23.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084+828}}{2\times 9}$$

Додайте 6084 до 828.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6912}}{2\times 9}$$

Видобудьте квадратний корінь із 6912.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±48\sqrt{3}}{2\times 9}$$

Число, протилежне до -78, дорівнює 78.

$$x=\frac{78±48\sqrt{3}}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18} за додатного значення ±. Додайте 78 до 48\sqrt{3}.

$$x=\frac{48\sqrt{3}+78}{18}$$

Розділіть 78+48\sqrt{3} на 18.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{78±48\sqrt{3}}{18} за від’ємного значення ±. Відніміть 48\sqrt{3} від 78.

$$x=\frac{78-48\sqrt{3}}{18}$$

Розділіть 78-48\sqrt{3} на 18.

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3} x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$

Підставте \frac{8\sqrt{3}+13}{3} замість x в іншому рівнянні: 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3.

$$2\sqrt{\frac{8\sqrt{3}+13}{3}+1}+\sqrt{\frac{8\sqrt{3}+13}{3}+2}=3$$

Спростіть. Значення x=\frac{8\sqrt{3}+13}{3} не відповідає рівняння.

$$5+\frac{8}{3}\times 3^{\frac{1}{2}}=3$$

Підставте \frac{13-8\sqrt{3}}{3} замість x в іншому рівнянні: 2\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}=3.

$$2\sqrt{\frac{13-8\sqrt{3}}{3}+1}+\sqrt{\frac{13-8\sqrt{3}}{3}+2}=3$$

Спростіть. Значення x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3} задовольняє рівнянню.

$$3=3$$

Рівняння 2\sqrt{x+1}=-\sqrt{x+2}+3 має один розв’язок.

$$x=\frac{13-8\sqrt{3}}{3}$$