Розв'яжіть 18y^2-23y-6

$$18 y ^ { 2 } - 23 y - 6$$

Розкласти на множники

$$\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 18y^{2}+ay+by-6. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-23 ab=18\left(-6\right)=-108$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -23.

$$a=-27 b=4$$

Перепишіть 18y^{2}-23y-6 як \left(18y^{2}-27y\right)+\left(4y-6\right).

$$\left(18y^{2}-27y\right)+\left(4y-6\right)$$

9y на першій та 2 в друге групу.

$$9y\left(2y-3\right)+2\left(2y-3\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2y-3, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$18y^{2}-23y-6=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 18\left(-6\right)}}{2\times 18}$$

Піднесіть -23 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 18\left(-6\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -4 на 18.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-72\left(-6\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -72 на -6.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+432}}{2\times 18}$$

Додайте 529 до 432.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{961}}{2\times 18}$$

Видобудьте квадратний корінь із 961.

$$y=\frac{-\left(-23\right)±31}{2\times 18}$$

Число, протилежне до -23, дорівнює 23.

$$y=\frac{23±31}{2\times 18}$$

Помножте 2 на 18.

$$y=\frac{23±31}{36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{23±31}{36} за додатного значення ±. Додайте 23 до 31.

$$y=\frac{54}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 18, щоб звести дріб \frac{54}{36} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{3}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{23±31}{36} за від’ємного значення ±. Відніміть 31 від 23.

$$y=-\frac{8}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-8}{36} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{2}{9}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{3}{2} на x_{1} та -\frac{2}{9} на x_{2}.

$$18y^{2}-23y-6=18\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y-\left(-\frac{2}{9}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$18y^{2}-23y-6=18\left(y-\frac{3}{2}\right)\left(y+\frac{2}{9}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{3}{2}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18y^{2}-23y-6=18\times \frac{2y-3}{2}\left(y+\frac{2}{9}\right)$$

Щоб додати \frac{2}{9} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18y^{2}-23y-6=18\times \frac{2y-3}{2}\times \frac{9y+2}{9}$$

Щоб помножити \frac{2y-3}{2} на \frac{9y+2}{9}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18y^{2}-23y-6=18\times \frac{\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)}{2\times 9}$$

Помножте 2 на 9.

$$18y^{2}-23y-6=18\times \frac{\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)}{18}$$

Відкиньте 18, тобто найбільший спільний дільник для 18 й 18.

$$18y^{2}-23y-6=\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)$$

Обчислити

$$\left(2y-3\right)\left(9y+2\right)$$