Розв'яжіть 18x^2-39x+20=0

$$18 x ^ { 2 } - 39 x + 20 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 18x^{2}+ax+bx+20. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-39 ab=18\times 20=360$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b від'ємне, a і b мають від’ємне значення. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -39.

$$a=-24 b=-15$$

Перепишіть 18x^{2}-39x+20 як \left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right).

$$\left(18x^{2}-24x\right)+\left(-15x+20\right)$$

6x на першій та -5 в друге групу.

$$6x\left(3x-4\right)-5\left(3x-4\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x-4, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x-4\right)\left(6x-5\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 3x-4=0 та 6x-5=0.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 18 замість a, -39 замість b і 20 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{\left(-39\right)^{2}-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Піднесіть -39 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-4\times 18\times 20}}{2\times 18}$$

Помножте -4 на 18.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-72\times 20}}{2\times 18}$$

Помножте -72 на 20.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{1521-1440}}{2\times 18}$$

Додайте 1521 до -1440.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±\sqrt{81}}{2\times 18}$$

Видобудьте квадратний корінь із 81.

$$x=\frac{-\left(-39\right)±9}{2\times 18}$$

Число, протилежне до -39, дорівнює 39.

$$x=\frac{39±9}{2\times 18}$$

Помножте 2 на 18.

$$x=\frac{39±9}{36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{39±9}{36} за додатного значення ±. Додайте 39 до 9.

$$x=\frac{48}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{48}{36} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{4}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{39±9}{36} за від’ємного значення ±. Відніміть 9 від 39.

$$x=\frac{30}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{36} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-39x+20=0$$

Відніміть 20 від обох сторін цього рівняння.

$$18x^{2}-39x+20-20=-20$$

Якщо відняти 20 від самого себе, залишиться 0.

$$18x^{2}-39x=-20$$

Розділіть обидві сторони на 18.

$$\frac{18x^{2}-39x}{18}=-\frac{20}{18}$$

Ділення на 18 скасовує множення на 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{39}{18}\right)x=-\frac{20}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 3, щоб звести дріб \frac{-39}{18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{20}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{-20}{18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{10}{9}$$

Поділіть -\frac{13}{6} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{13}{12}. Потім додайте -\frac{13}{12} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{9}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{13}{12} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=-\frac{10}{9}+\frac{169}{144}$$

Щоб додати -\frac{10}{9} до \frac{169}{144}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{1}{16}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{1}{4} x-\frac{13}{12}=-\frac{1}{4}$$

Додайте \frac{13}{12} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{5}{6}$$