Розв'яжіть 18x^2-30x+11=0

$$18 x ^ { 2 } - 30 x + 11 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{3} + 5}{6} \approx 1,122008468$$

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}\approx 0,544658199$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 18 замість a, -30 замість b і 11 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Піднесіть -30 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 18\times 11}}{2\times 18}$$

Помножте -4 на 18.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-72\times 11}}{2\times 18}$$

Помножте -72 на 11.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-792}}{2\times 18}$$

Додайте 900 до -792.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{108}}{2\times 18}$$

Видобудьте квадратний корінь із 108.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Число, протилежне до -30, дорівнює 30.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{2\times 18}$$

Помножте 2 на 18.

$$x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} за додатного значення ±. Додайте 30 до 6\sqrt{3}.

$$x=\frac{6\sqrt{3}+30}{36}$$

Розділіть 30+6\sqrt{3} на 36.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{30±6\sqrt{3}}{36} за від’ємного значення ±. Відніміть 6\sqrt{3} від 30.

$$x=\frac{30-6\sqrt{3}}{36}$$

Розділіть 30-6\sqrt{3} на 36.

$$x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-30x+11=0$$

Відніміть 11 від обох сторін цього рівняння.

$$18x^{2}-30x+11-11=-11$$

Якщо відняти 11 від самого себе, залишиться 0.

$$18x^{2}-30x=-11$$

Розділіть обидві сторони на 18.

$$\frac{18x^{2}-30x}{18}=-\frac{11}{18}$$

Ділення на 18 скасовує множення на 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{18}\right)x=-\frac{11}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-30}{18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{11}{18}$$

Поділіть -\frac{5}{3} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{5}{6}. Потім додайте -\frac{5}{6} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{18}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{5}{6} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{11}{18}+\frac{25}{36}$$

Щоб додати -\frac{11}{18} до \frac{25}{36}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{12}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{12}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{12}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{3}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{6}$$

Додайте \frac{5}{6} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{3}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{3}}{6}$$