Розв'яжіть 18t^2-9t-5

$$18 t ^ { 2 } - 9 t - 5$$

Розкласти на множники

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 18t^{2}+at+bt-5. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-15 b=6$$

Перепишіть 18t^{2}-9t-5 як \left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right).

$$\left(18t^{2}-15t\right)+\left(6t-5\right)$$

Винесіть за дужки 3t в 18t^{2}-15t.

$$3t\left(6t-5\right)+6t-5$$

Винесіть за дужки спільний член 6t-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$18t^{2}-9t-5=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -4 на 18.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -72 на -5.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Додайте 81 до 360.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Видобудьте квадратний корінь із 441.

$$t=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$t=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Помножте 2 на 18.

$$t=\frac{9±21}{36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{9±21}{36} за додатного значення ±. Додайте 9 до 21.

$$t=\frac{30}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{36} до нескоротного вигляду.

$$t=\frac{5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння t=\frac{9±21}{36} за від’ємного значення ±. Відніміть 21 від 9.

$$t=-\frac{12}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-12}{36} до нескоротного вигляду.

$$t=-\frac{1}{3}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{5}{6} на x_{1} та -\frac{1}{3} на x_{2}.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$18t^{2}-9t-5=18\left(t-\frac{5}{6}\right)\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Щоб відняти t від \frac{5}{6}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\left(t+\frac{1}{3}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{3} до t, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{6t-5}{6}\times \frac{3t+1}{3}$$

Щоб помножити \frac{6t-5}{6} на \frac{3t+1}{3}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{6\times 3}$$

Помножте 6 на 3.

$$18t^{2}-9t-5=18\times \frac{\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)}{18}$$

Відкиньте 18, тобто найбільший спільний дільник для 18 й 18.

$$18t^{2}-9t-5=\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$

Обчислити

$$\left(6t-5\right)\left(3t+1\right)$$