Розв'яжіть 18x^2-9x-5=0

$$18 { x }^{ 2 } -9x-5 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0,833333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 18x^{2}+ax+bx-5. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=-9 ab=18\left(-5\right)=-90$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -9.

$$a=-15 b=6$$

Перепишіть 18x^{2}-9x-5 як \left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right).

$$\left(18x^{2}-15x\right)+\left(6x-5\right)$$

Винесіть за дужки 3x в 18x^{2}-15x.

$$3x\left(6x-5\right)+6x-5$$

Винесіть за дужки спільний член 6x-5, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(6x-5\right)\left(3x+1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 6x-5=0 і 3x+1=0.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 18 замість a, -9 замість b і -5 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Піднесіть -9 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 18\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -4 на 18.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-72\left(-5\right)}}{2\times 18}$$

Помножте -72 на -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 18}$$

Додайте 81 до 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 18}$$

Видобудьте квадратний корінь із 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 18}$$

Число, протилежне до -9, дорівнює 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 18}$$

Помножте 2 на 18.

$$x=\frac{9±21}{36}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±21}{36} за додатного значення ±. Додайте 9 до 21.

$$x=\frac{30}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{30}{36} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{5}{6}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{9±21}{36} за від’ємного значення ±. Відніміть 21 від 9.

$$x=-\frac{12}{36}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 12, щоб звести дріб \frac{-12}{36} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$18x^{2}-9x-5=0$$

Додайте 5 до обох сторін цього рівняння.

$$18x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Якщо відняти -5 від самого себе, залишиться 0.

$$18x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Відніміть -5 від 0.

$$18x^{2}-9x=5$$

Розділіть обидві сторони на 18.

$$\frac{18x^{2}-9x}{18}=\frac{5}{18}$$

Ділення на 18 скасовує множення на 18.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{18}\right)x=\frac{5}{18}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 9, щоб звести дріб \frac{-9}{18} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{5}{18}$$

Поділіть -\frac{1}{2} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{1}{4}. Потім додайте -\frac{1}{4} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{5}{18}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{1}{4} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{5}{18}+\frac{1}{16}$$

Щоб додати \frac{5}{18} до \frac{1}{16}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{49}{144}$$

Розкладіть x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{7}{12} x-\frac{1}{4}=-\frac{7}{12}$$

Додайте \frac{1}{4} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5}{6} x=-\frac{1}{3}$$