Розв'яжіть 16x^2-64x+65=0

$$16 x ^ { 2 } - 64 x + 65 = 0$$

Знайдіть x (complex solution)

$$x=2+\frac{1}{4}i=2+0,25i$$

$$x=2-\frac{1}{4}i=2-0,25i$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 16 замість a, -64 замість b і 65 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{\left(-64\right)^{2}-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Піднесіть -64 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4\times 16\times 65}}{2\times 16}$$

Помножте -4 на 16.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-64\times 65}}{2\times 16}$$

Помножте -64 на 65.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{4096-4160}}{2\times 16}$$

Додайте 4096 до -4160.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±\sqrt{-64}}{2\times 16}$$

Видобудьте квадратний корінь із -64.

$$x=\frac{-\left(-64\right)±8i}{2\times 16}$$

Число, протилежне до -64, дорівнює 64.

$$x=\frac{64±8i}{2\times 16}$$

Помножте 2 на 16.

$$x=\frac{64±8i}{32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{64±8i}{32} за додатного значення ±. Додайте 64 до 8i.

$$x=\frac{64+8i}{32}$$

Розділіть 64+8i на 32.

$$x=2+\frac{1}{4}i$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{64±8i}{32} за від’ємного значення ±. Відніміть 8i від 64.

$$x=\frac{64-8i}{32}$$

Розділіть 64-8i на 32.

$$x=2-\frac{1}{4}i$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-64x+65=0$$

Відніміть 65 від обох сторін цього рівняння.

$$16x^{2}-64x+65-65=-65$$

Якщо відняти 65 від самого себе, залишиться 0.

$$16x^{2}-64x=-65$$

Розділіть обидві сторони на 16.

$$\frac{16x^{2}-64x}{16}=-\frac{65}{16}$$

Ділення на 16 скасовує множення на 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{64}{16}\right)x=-\frac{65}{16}$$

Розділіть -64 на 16.

$$x^{2}-4x=-\frac{65}{16}$$

Поділіть -4 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -2. Потім додайте -2 у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-\frac{65}{16}+\left(-2\right)^{2}$$

Піднесіть -2 до квадрата.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{65}{16}+4$$

Додайте -\frac{65}{16} до 4.

$$x^{2}-4x+4=-\frac{1}{16}$$

Розкладіть x^{2}-4x+4 на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-\frac{1}{16}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{16}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-2=\frac{1}{4}i x-2=-\frac{1}{4}i$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$x=2+\frac{1}{4}i x=2-\frac{1}{4}i$$