Розв'яжіть 16x^2+8x+1

$$16 x ^ { 2 } + 8 x + 1$$

Розкласти на множники

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 16x^{2}+ax+bx+1. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=8 ab=16\times 1=16$$

Оскільки ab додатне, a та b мають однаковий знак. Оскільки a+b додатне, a і b – це не додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 8.

$$a=4 b=4$$

Перепишіть 16x^{2}+8x+1 як \left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right).

$$\left(16x^{2}+4x\right)+\left(4x+1\right)$$

Винесіть за дужки 4x в 16x^{2}+4x.

$$4x\left(4x+1\right)+4x+1$$

Винесіть за дужки спільний член 4x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

Перепишіть у вигляді квадрата двочлена.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

Покрокові інструкції з використання квадрату двочлена

Цей тричлен має форму квадратного тричлена, можливо, помноженого на спільний множник. Квадратні тричлени можна розкласти на множники, якщо обчислити квадратні корені першого та останнього доданків.

$$factor(16x^{2}+8x+1)$$

Обчисліть найбільший спільний дільник коефіцієнтів.

$$gcf(16,8,1)=1$$

Видобудьте квадратний корінь із найстаршого члена: 16x^{2}.

$$\sqrt{16x^{2}}=4x$$

Квадратний тричлен – це піднесений до квадрата двочлен, який складається із суми або різниці квадратних коренів із першого та останнього доданків. Знак визначається за знаком середнього доданка в квадратному тричлені.

$$\left(4x+1\right)^{2}$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$16x^{2}+8x+1=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 16}}{2\times 16}$$

Піднесіть 8 до квадрата.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 16}}{2\times 16}$$

Помножте -4 на 16.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-64}}{2\times 16}$$

Додайте 64 до -64.

$$x=\frac{-8±\sqrt{0}}{2\times 16}$$

Видобудьте квадратний корінь із 0.

$$x=\frac{-8±0}{2\times 16}$$

Помножте 2 на 16.

$$x=\frac{-8±0}{32}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть -\frac{1}{4} на x_{1} та -\frac{1}{4} на x_{2}.

$$16x^{2}+8x+1=16\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$16x^{2}+8x+1=16\left(x+\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{4} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{4x+1}{4}\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{4} до x, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{4x+1}{4}\times \frac{4x+1}{4}$$

Щоб помножити \frac{4x+1}{4} на \frac{4x+1}{4}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)}{4\times 4}$$

Помножте 4 на 4.

$$16x^{2}+8x+1=16\times \frac{\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)}{16}$$

Відкиньте 16, тобто найбільший спільний дільник для 16 й 16.

$$16x^{2}+8x+1=\left(4x+1\right)\left(4x+1\right)$$

Обчислити

$$\left(4x+1\right)^{2}$$