Розв'яжіть 16x^2+10x-9=0

$$16 x ^ { 2 } + 10 x - 9 = 0$$

Знайдіть x

$$x = -\frac{9}{8} = -1\frac{1}{8} = -1,125$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 16x^{2}+ax+bx-9. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=10 ab=16\left(-9\right)=-144$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 10.

$$a=-8 b=18$$

Перепишіть 16x^{2}+10x-9 як \left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right).

$$\left(16x^{2}-8x\right)+\left(18x-9\right)$$

8x на першій та 9 в друге групу.

$$8x\left(2x-1\right)+9\left(2x-1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 2x-1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(2x-1\right)\left(8x+9\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 2x-1=0 та 8x+9=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 16 замість a, 10 замість b і -9 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Піднесіть 10 до квадрата.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 16\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Помножте -4 на 16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64\left(-9\right)}}{2\times 16}$$

Помножте -64 на -9.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+576}}{2\times 16}$$

Додайте 100 до 576.

$$x=\frac{-10±\sqrt{676}}{2\times 16}$$

Видобудьте квадратний корінь із 676.

$$x=\frac{-10±26}{2\times 16}$$

Помножте 2 на 16.

$$x=\frac{-10±26}{32}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±26}{32} за додатного значення ±. Додайте -10 до 26.

$$x=\frac{16}{32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 16, щоб звести дріб \frac{16}{32} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{1}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-10±26}{32} за від’ємного значення ±. Відніміть 26 від -10.

$$x=-\frac{36}{32}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{-36}{32} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{9}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+10x-9=0$$

Додайте 9 до обох сторін цього рівняння.

$$16x^{2}+10x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Якщо відняти -9 від самого себе, залишиться 0.

$$16x^{2}+10x=-\left(-9\right)$$

Відніміть -9 від 0.

$$16x^{2}+10x=9$$

Розділіть обидві сторони на 16.

$$\frac{16x^{2}+10x}{16}=\frac{9}{16}$$

Ділення на 16 скасовує множення на 16.

$$x^{2}+\frac{10}{16}x=\frac{9}{16}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{10}{16} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x=\frac{9}{16}$$

Поділіть \frac{5}{8} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{5}{16}. Потім додайте \frac{5}{16} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{9}{16}+\left(\frac{5}{16}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{5}{16} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{9}{16}+\frac{25}{256}$$

Щоб додати \frac{9}{16} до \frac{25}{256}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256}=\frac{169}{256}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{5}{8}x+\frac{25}{256} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}=\frac{169}{256}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{256}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{5}{16}=\frac{13}{16} x+\frac{5}{16}=-\frac{13}{16}$$

Відніміть \frac{5}{16} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{9}{8}$$