Розв'яжіть 15x^2-7x-2geq0

$$15 x ^ { 2 } - 7 x - 2 \geq 0$$

Знайти x

$$x\in (-\infty,-\frac{1}{5}]\cup [\frac{2}{3},\infty)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Щоб розв’язати нерівність, розкладіть ліву частину на множники. Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$15x^{2}-7x-2=0$$

Усі рівняння вигляду ax^{2}+bx+c=0 можна вирішити за допомогою загальної формули для квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Замініть у цій формулі 15 на a, -7 – на b, а -2 – на c.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 15\left(-2\right)}}{2\times 15}$$

Виконайте арифметичні операції.

$$x=\frac{7±13}{30}$$

Розв’яжіть рівняння x=\frac{7±13}{30} для випадку, коли замість ± використовується знак "плюс", і коли замість ± використовується знак "мінус".

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{1}{5}$$

Перепишіть нерівність за допомогою отриманих розв’язків.

$$15\left(x-\frac{2}{3}\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)\geq 0$$

Щоб добуток був ≥0, x-\frac{2}{3} і x+\frac{1}{5} мають одночасно бути або ≤0, або ≥0. Розглянемо випадок, коли x-\frac{2}{3} і x+\frac{1}{5} ≤0.

$$x-\frac{2}{3}\leq 0 x+\frac{1}{5}\leq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\leq -\frac{1}{5}.

$$x\leq -\frac{1}{5}$$

Розглянемо випадок, коли x-\frac{2}{3} і x+\frac{1}{5} ≥0.

$$x+\frac{1}{5}\geq 0 x-\frac{2}{3}\geq 0$$

Обидві нерівності мають такий розв’язок: x\geq \frac{2}{3}.

$$x\geq \frac{2}{3}$$

Остаточний розв’язок – об’єднання отриманих розв’язків.

$$x\leq -\frac{1}{5}\text{; }x\geq \frac{2}{3}$$