Розв'яжіть 15x^2-525x-4500=0

$$15 x ^ { 2 } - 525 x - 4500 = 0$$

Знайдіть x

$$x = \frac{5 \sqrt{97} + 35}{2} \approx 42,122144504$$

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}\approx -7,122144504$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 15 замість a, -525 замість b і -4500 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{\left(-525\right)^{2}-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Піднесіть -525 до квадрата.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-4\times 15\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -4 на 15.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625-60\left(-4500\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -60 на -4500.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{275625+270000}}{2\times 15}$$

Додайте 275625 до 270000.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±\sqrt{545625}}{2\times 15}$$

Видобудьте квадратний корінь із 545625.

$$x=\frac{-\left(-525\right)±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Число, протилежне до -525, дорівнює 525.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{2\times 15}$$

Помножте 2 на 15.

$$x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} за додатного значення ±. Додайте 525 до 75\sqrt{97}.

$$x=\frac{75\sqrt{97}+525}{30}$$

Розділіть 525+75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{525±75\sqrt{97}}{30} за від’ємного значення ±. Відніміть 75\sqrt{97} від 525.

$$x=\frac{525-75\sqrt{97}}{30}$$

Розділіть 525-75\sqrt{97} на 30.

$$x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}-525x-4500=0$$

Додайте 4500 до обох сторін цього рівняння.

$$15x^{2}-525x-4500-\left(-4500\right)=-\left(-4500\right)$$

Якщо відняти -4500 від самого себе, залишиться 0.

$$15x^{2}-525x=-\left(-4500\right)$$

Відніміть -4500 від 0.

$$15x^{2}-525x=4500$$

Розділіть обидві сторони на 15.

$$\frac{15x^{2}-525x}{15}=\frac{4500}{15}$$

Ділення на 15 скасовує множення на 15.

$$x^{2}+\left(-\frac{525}{15}\right)x=\frac{4500}{15}$$

Розділіть -525 на 15.

$$x^{2}-35x=\frac{4500}{15}$$

Розділіть 4500 на 15.

$$x^{2}-35x=300$$

Поділіть -35 (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати -\frac{35}{2}. Потім додайте -\frac{35}{2} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}-35x+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}=300+\left(-\frac{35}{2}\right)^{2}$$

Щоб піднести -\frac{35}{2} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=300+\frac{1225}{4}$$

Додайте 300 до \frac{1225}{4}.

$$x^{2}-35x+\frac{1225}{4}=\frac{2425}{4}$$

Розкладіть x^{2}-35x+\frac{1225}{4} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}=\frac{2425}{4}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x-\frac{35}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2425}{4}}$$

Виконайте спрощення.

$$x-\frac{35}{2}=\frac{5\sqrt{97}}{2} x-\frac{35}{2}=-\frac{5\sqrt{97}}{2}$$

Додайте \frac{35}{2} до обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{5\sqrt{97}+35}{2} x=\frac{35-5\sqrt{97}}{2}$$