Розв'яжіть 15x^2+11x+2=0

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 15x^{2}+ax+bx+2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

Оскільки ab додатне, a і b мають однаковий знак. Оскільки a+b позитивний, a і b є позитивними. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 11.

$$a=5 b=6$$

Перепишіть 15x^{2}+11x+2 як \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right).

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

Винесіть за дужки 5x в першій і 2 у другій групі.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 3x+1, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 3x+1=0 і 5x+2=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 15 замість a, 11 замість b і 2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Піднесіть 11 до квадрата.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

Помножте -4 на 15.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

Помножте -60 на 2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

Додайте 121 до -120.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

Видобудьте квадратний корінь із 1.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

Помножте 2 на 15.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±1}{30} за додатного значення ±. Додайте -11 до 1.

$$x=-\frac{10}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-10}{30} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-11±1}{30} за від’ємного значення ±. Відніміть 1 від -11.

$$x=-\frac{12}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{-12}{30} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Відніміть 2 від обох сторін цього рівняння.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

Якщо відняти 2 від самого себе, залишиться 0.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Розділіть обидві сторони на 15.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

Ділення на 15 скасовує множення на 15.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

Поділіть \frac{11}{15} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{11}{30}. Потім додайте \frac{11}{30} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{11}{30} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Щоб додати -\frac{2}{15} до \frac{121}{900}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Відніміть \frac{11}{30} від обох сторін цього рівняння.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$