Розв'яжіть 15x^2+4x-4=0

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 15x^{2}+ax+bx-4. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 4.

$$a=-6 b=10$$

Перепишіть 15x^{2}+4x-4 як \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right).

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

3x на першій та 2 в друге групу.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Винесіть за дужки спільний член 5x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Щоб знайти рішення для формул, Розв'яжіть 5x-2=0 та 3x+2=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 15 замість a, 4 замість b і -4 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Піднесіть 4 до квадрата.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -4 на 15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

Помножте -60 на -4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

Додайте 16 до 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

Видобудьте квадратний корінь із 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

Помножте 2 на 15.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±16}{30} за додатного значення ±. Додайте -4 до 16.

$$x=\frac{12}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 6, щоб звести дріб \frac{12}{30} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{2}{5}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-4±16}{30} за від’ємного значення ±. Відніміть 16 від -4.

$$x=-\frac{20}{30}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 10, щоб звести дріб \frac{-20}{30} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Додайте 4 до обох сторін цього рівняння.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Якщо відняти -4 від самого себе, залишиться 0.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

Відніміть -4 від 0.

$$15x^{2}+4x=4$$

Розділіть обидві сторони на 15.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

Ділення на 15 скасовує множення на 15.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

Поділіть \frac{4}{15} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{2}{15}. Потім додайте \frac{2}{15} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{2}{15} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Щоб додати \frac{4}{15} до \frac{4}{225}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Відніміть \frac{2}{15} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$