Розв'яжіть 14x+8x^2=970

$$14x+8 { x }^{ 2 } =970$$

Знайдіть x

$$x = \frac{\sqrt{7809} - 7}{8} \approx 10,171068305$$

$$x=\frac{-\sqrt{7809}-7}{8}\approx -11,921068305$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$8x^{2}+14x=970$$

Відніміть 970 від обох сторін цього рівняння.

$$8x^{2}+14x-970=970-970$$

Якщо відняти 970 від самого себе, залишиться 0.

$$8x^{2}+14x-970=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 8 замість a, 14 замість b і -970 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 8\left(-970\right)}}{2\times 8}$$

Піднесіть 14 до квадрата.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 8\left(-970\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -4 на 8.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-32\left(-970\right)}}{2\times 8}$$

Помножте -32 на -970.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+31040}}{2\times 8}$$

Додайте 196 до 31040.

$$x=\frac{-14±\sqrt{31236}}{2\times 8}$$

Видобудьте квадратний корінь із 31236.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{7809}}{2\times 8}$$

Помножте 2 на 8.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{7809}}{16}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±2\sqrt{7809}}{16} за додатного значення ±. Додайте -14 до 2\sqrt{7809}.

$$x=\frac{2\sqrt{7809}-14}{16}$$

Розділіть -14+2\sqrt{7809} на 16.

$$x=\frac{\sqrt{7809}-7}{8}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-14±2\sqrt{7809}}{16} за від’ємного значення ±. Відніміть 2\sqrt{7809} від -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{7809}-14}{16}$$

Розділіть -14-2\sqrt{7809} на 16.

$$x=\frac{-\sqrt{7809}-7}{8}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{\sqrt{7809}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{7809}-7}{8}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+14x=970$$

Розділіть обидві сторони на 8.

$$\frac{8x^{2}+14x}{8}=\frac{970}{8}$$

Ділення на 8 скасовує множення на 8.

$$x^{2}+\frac{14}{8}x=\frac{970}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{14}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{970}{8}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{970}{8} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{485}{4}$$

Поділіть \frac{7}{4} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{7}{8}. Потім додайте \frac{7}{8} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{485}{4}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{7}{8} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{485}{4}+\frac{49}{64}$$

Щоб додати \frac{485}{4} до \frac{49}{64}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{7809}{64}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} на множник. Зазвичай, якщо x^{2}+bx+c – це ідеальний квадрат, його завжди можна розкласти на множник як \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{7809}{64}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7809}{64}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{7809}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{7809}}{8}$$

Відніміть \frac{7}{8} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{\sqrt{7809}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{7809}-7}{8}$$