Розв'яжіть 14y^2-5y-6

$$14 y ^ { 2 } - 5 y - 6$$

Розкласти на множники

$$\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)$$

Покрокове розв’язання

Розкладіть вираз на множники методом групування. Спочатку вираз потрібно переписати у вигляді 14y^{2}+ay+by-6. Щоб знайти a та b, настройте систему для вирішено.

$$a+b=-5 ab=14\left(-6\right)=-84$$

Оскільки ab від'ємне, a і b протилежному знаки. Оскільки значення a+b від’ємне, від’ємне число за модулем більше за додатне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює -5.

$$a=-12 b=7$$

Перепишіть 14y^{2}-5y-6 як \left(14y^{2}-12y\right)+\left(7y-6\right).

$$\left(14y^{2}-12y\right)+\left(7y-6\right)$$

Винесіть за дужки 2y в 14y^{2}-12y.

$$2y\left(7y-6\right)+7y-6$$

Винесіть за дужки спільний член 7y-6, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)$$

Покрокове використання формули для коренів квадратного рівняння

Квадратний многочлен можна розкласти на співмножники за допомогою перетворення ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), де x_{1} і x_{2} – розв’язки квадратного рівняння ax^{2}+bx+c=0.

$$14y^{2}-5y-6=0$$

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 14\left(-6\right)}}{2\times 14}$$

Піднесіть -5 до квадрата.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 14\left(-6\right)}}{2\times 14}$$

Помножте -4 на 14.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-56\left(-6\right)}}{2\times 14}$$

Помножте -56 на -6.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+336}}{2\times 14}$$

Додайте 25 до 336.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{361}}{2\times 14}$$

Видобудьте квадратний корінь із 361.

$$y=\frac{-\left(-5\right)±19}{2\times 14}$$

Число, протилежне до -5, дорівнює 5.

$$y=\frac{5±19}{2\times 14}$$

Помножте 2 на 14.

$$y=\frac{5±19}{28}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{5±19}{28} за додатного значення ±. Додайте 5 до 19.

$$y=\frac{24}{28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{24}{28} до нескоротного вигляду.

$$y=\frac{6}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння y=\frac{5±19}{28} за від’ємного значення ±. Відніміть 19 від 5.

$$y=-\frac{14}{28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{-14}{28} до нескоротного вигляду.

$$y=-\frac{1}{2}$$

Розкладіть вихідний вираз на множники за принципом ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Замініть \frac{6}{7} на x_{1} та -\frac{1}{2} на x_{2}.

$$14y^{2}-5y-6=14\left(y-\frac{6}{7}\right)\left(y-\left(-\frac{1}{2}\right)\right)$$

Спростіть усі вирази виду p-\left(-q\right) до виразів виду p+q.

$$14y^{2}-5y-6=14\left(y-\frac{6}{7}\right)\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб відняти y від \frac{6}{7}, визначте спільний знаменник і обчисліть різницю чисельників. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$14y^{2}-5y-6=14\times \frac{7y-6}{7}\left(y+\frac{1}{2}\right)$$

Щоб додати \frac{1}{2} до y, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$14y^{2}-5y-6=14\times \frac{7y-6}{7}\times \frac{2y+1}{2}$$

Щоб помножити \frac{7y-6}{7} на \frac{2y+1}{2}, помножте чисельник на чисельник і знаменник на знаменник. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$14y^{2}-5y-6=14\times \frac{\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)}{7\times 2}$$

Помножте 7 на 2.

$$14y^{2}-5y-6=14\times \frac{\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)}{14}$$

Відкиньте 14, тобто найбільший спільний дільник для 14 й 14.

$$14y^{2}-5y-6=\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)$$

Обчислити

$$\left(7y-6\right)\left(2y+1\right)$$