Розв'яжіть 14x^2+3x-2=0

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

Знайдіть x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Покрокові інструкції з розкладання на множники методом групування

Щоб розв’язати рівняння, розкладіть його ліву частину на множники методом групування. Спочатку потрібно переписати ліву частину у вигляді 14x^{2}+ax+bx-2. Щоб знайти a та b, налаштуйте систему, яку потрібно розв'язати.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

Оскільки ab від'ємне, a і b мають протилежні ознаки. Оскільки значення a+b додатне, додатне число за модулем більше за від’ємне. Наведіть усі пари цілих чисел, добуток яких дорівнює -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Обчисліть суму для кожної пари.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Розв’язком буде пара, що в сумі дорівнює 3.

$$a=-4 b=7$$

Перепишіть 14x^{2}+3x-2 як \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right).

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

Винесіть за дужки 2x в 14x^{2}-4x.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Винесіть за дужки спільний член 7x-2, використовуючи властивість дистрибутивності.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Щоб знайти розв’язки рівняння, розв’яжіть 7x-2=0 і 2x+1=0.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Покрокові інструкції з використання формули для коренів квадратного рівняння

Усі рівняння форми ax^{2}+bx+c=0 можна розв’язати за формулою коренів квадратного рівняння: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ця формула дає два розв’язки: перший відповідає знаку додавання в ±, а другий знаку віднімання.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Це рівняння записано в стандартному вигляді: ax^{2}+bx+c=0. Підставте 14 замість a, 3 замість b і -2 замість c у формулі для коренів квадратного рівняння \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Піднесіть 3 до квадрата.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Помножте -4 на 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

Помножте -56 на -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

Додайте 9 до 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

Видобудьте квадратний корінь із 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

Помножте 2 на 14.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±11}{28} за додатного значення ±. Додайте -3 до 11.

$$x=\frac{8}{28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 4, щоб звести дріб \frac{8}{28} до нескоротного вигляду.

$$x=\frac{2}{7}$$

Тепер розв’яжіть рівняння x=\frac{-3±11}{28} за від’ємного значення ±. Відніміть 11 від -3.

$$x=-\frac{14}{28}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 14, щоб звести дріб \frac{-14}{28} до нескоротного вигляду.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Тепер рівняння розв’язано.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Покрокове доповнення до повного квадрата

Квадратні рівняння такого вигляду можна розв’язати, доповнивши їх до повного квадрата. Для цього спочатку слід привести таке рівняння до вигляду x^{2}+bx=c.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Додайте 2 до обох сторін цього рівняння.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Якщо відняти -2 від самого себе, залишиться 0.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Відніміть -2 від 0.

$$14x^{2}+3x=2$$

Розділіть обидві сторони на 14.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

Ділення на 14 скасовує множення на 14.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

Поділіть чисельник і знаменник на 2, щоб звести дріб \frac{2}{14} до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

Поділіть \frac{3}{14} (коефіцієнт члена x) на 2, щоб отримати \frac{3}{28}. Потім додайте \frac{3}{28} у квадраті до обох сторін цього рівняння. Тоді в лівій частині рівняння буде квадратне число.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Щоб піднести \frac{3}{28} до квадрата, піднесіть до квадрата чисельник і знаменник дробу.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Щоб додати \frac{1}{7} до \frac{9}{784}, визначте спільний знаменник і підсумуйте чисельники. Далі по змозі зведіть дріб до нескоротного вигляду.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Розкладіть x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784} на множники. Якщо многочлен x^{2}+bx+c становить квадратне число, зазвичай його можна розкласти на множники таким чином: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Видобудьте квадратний корінь з обох сторін рівняння.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Виконайте спрощення.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Відніміть \frac{3}{28} від обох сторін цього рівняння.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$